数学基础笔记：数列、级数与求和

先说数列里面常见的几种：等差、等比、调和数列。原稿里的公式在迁移时出现了重复显示，还有几处首项、末项和下标混用，这次一起整理。

等差数列

相邻两项之差为常数 d：

a_n=a_1+(n-1)d

前 n 项和为：

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac n2\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)

原笔记写的 n(n + 1)/2，只对应首项和公差都为 1 的自然数求和，不能代替一般公式。

如果 a、b、c 是连续三项，那么等差中项为 b = (a + c)/2。

相邻两项的比为常数 q：

a_n=a_1q^{n-1}

当 q 不等于 1 时：

S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}

这里乘的是首项 a₁，不是末项 aₙ。当 q = 1 时，每一项相同，直接得到 Sₙ = na₁。

对于连续三项 a、b、c，有 b² = ac。只有在讨论正数时，才直接取正的几何中项 b = √(ac)。

如果各项非零，而且它们的倒数组成等差数列，就得到调和数列：

\frac1{a_n}=\frac1{a_1}+(n-1)d

因此：

a_n=\frac{a_1}{1+(n-1)da_1}

需要排除分母为零的项。原稿的下标和分母都写错了，直接从倒数的等差公式推一次更稳妥。

三个连续项 a、b、c 的调和中项为：

b=\frac{2ac}{a+c}

对正数 a、c，三个平均数满足：

\frac{a+c}2\ge\sqrt{ac}\ge\frac{2ac}{a+c}

等号在 a = c 时同时成立。

令 bᵢ = aᵢ₊₁ − aᵢ，把相邻差相加，中间项会抵消：

a_n=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}b_i

这就是原来“差阶数列”一节想记录的关系。

下面 n 为正整数：

\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2

\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6

\sum_{k=1}^n k^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2

偶数项和奇数项分别为：

\begin{gathered} \sum_{k=1}^n2k=n(n+1)\\ \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2 \end{gathered}

求和号后面不能省略被加的项，求和下标也要与式子中的变量一致。

从 k = 0 加到 n，一共是 n + 1 项：

\begin{gathered} \sum_{k=0}^n ar^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\\ r\ne1 \end{gathered}

如果继续加到无穷，并且 |r| < 1，才得到：

\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\frac a{1-r}

原稿把有限和的左边与无穷级数的右边放在了一起，需要分开。

下面只是等比求和的数学例子。假设每期末投入固定金额 a，每期增长率固定为 r，累计 n 期。在第 n 期末，最后一笔还没有增长，第一笔已经增长了 n − 1 期：

\begin{gathered} S_n=a\sum_{k=0}^{n-1}(1+r)^k=a\frac{(1+r)^n-1}{r}\\ r\ne0 \end{gathered}

若改为每期初投入，在其他条件相同的模型下，结果再乘 1 + r。若 r 等于零，直接用 na。

原稿最后想记的是分式裂项。对于非零且不相等的 a、b：

\frac1{ab}=\frac1{b-a}\left(\frac1a-\frac1b\right)

取 a = k、b = k + 1，就得到：

\begin{aligned} \sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}&=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\ &=1-\frac1{n+1} \end{aligned}