数学基础笔记：函数、对数与几种曲线

这份笔记记的是数学里的函数。原稿把公式的源码、显示结果和辅助文本混在了一起，读起来像同一个式子写了三遍。这次按一次函数、二次函数、对数和曲线重新整理，并把缺掉的系数补回去。

一次函数与反比例函数

正比例函数是 y = ax；一次函数一般写成 y = ax + b，其中 a 不为零。它与两个坐标轴的交点分别是：

\begin{gathered} \left(-\frac ba,0\right)\\ (0,b) \end{gathered}

直线的一般形式是 ax + by + c = 0，要求 a、b 不同时为零。当 a、b 都不为零时，两个截距对应的点是：

\begin{gathered} \left(-\frac ca,0\right)\\ \left(0,-\frac cb\right) \end{gathered}

a 或 b 为零时，可能出现水平线或竖直线，这时不能继续套用分母为零的式子。

反比例函数写成：

\begin{gathered} y=\frac ax\\ a\ne0,\ x\ne0 \end{gathered}

它的图像是双曲线。比较不同 a 的图像时，应当说明是在相同 x 处比较函数值，不能含糊地说“整条曲线离原点更远”。

二次函数的一般形式为 y = ax² + bx + c，其中 a 不为零。配方后得到：

y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}

平方项前面的 a 不能漏掉。顶点和对称轴分别是：

\begin{gathered} \left(-\frac b{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\\ x=-\frac b{2a} \end{gathered}

也可以直接写成顶点式：

y=a(x-p)^2+q

顶点是 (p, q)，对称轴是 x = p。a 的正负决定开口方向，绝对值影响图像的伸展程度。

这里的取整指向下取整，用 floor 表示：

\begin{gathered} \lfloor x\rfloor=n\quad\Longleftrightarrow\quad n\le x<n+1\\ n\in\mathbb Z \end{gathered}

例如 floor(2.8) = 2，而 floor(-2.8) = -3。处理负数时，向下取整与直接截掉小数部分不同。

下面统一要求底数 a > 0 且 a ≠ 1，真数 x、y 为正数。

\begin{gathered} \log_a a=1\\ \log_a1=0 \end{gathered}

\begin{gathered} \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y\\ \log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y \end{gathered}

\log_a(x^p)=p\log_a x

换底时，另选一个合法底数 c：

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

当 b 也能作为合法底数时，有：

\log_a b=\frac1{\log_b a}

原稿里还记了幂与对数的两组关系。下式要求 m ≠ 0，相关底数与真数满足前面的条件：

\begin{gathered} \log_{a^m}(b^n)=\frac nm\log_a b\\ \log_{a^m}b=\frac1m\log_a b \end{gathered}

对于正数 a、b 和合法底数 c，还有：

a^{\log_c b}=b^{\log_c a}

常用对数用 lg 表示。如果把正数 N 写成 N = m × 10ⁿ，其中 1 ≤ m < 10、n 为整数，那么：

\lg N=n+\lg m

这里用 m 表示科学计数法中的有效数字部分，避免与前面的对数底数 a 混淆。

原文最后只列了曲线名字。下面补上常见表达式，方便以后查找；它们是本次整理补充的说明。